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Taverne des Enigmes > La bande de l'année le retour !

matmat  Le 11-09-10 à 11:31  La bande de l'année le retour !

Lors de la finale internationale du 24ème championnat des jeux mathématiques (2ème jour), l'énoncé suivant était proposé aux participants :

Dans chacune des onze cases d'une bande, on écrit un nombre.
Dans la première case, on écrit le nombre 20. Dans la onzième
case, on écrit le nombre 10.
La somme de tous les nombres qui ne sont égaux ni à 10 ni à 20
est égale à 4444. La somme de quatre nombres placés dans des
cases consécutives doit toujours être 2010.
Quel est le nombre écrit dans la sixième case ?


Je vous donne un scoop : l'an prochain, il y aura le même énoncé !
Et pourtant, il y aura sans doute davantage d'erreurs que cette année !
Quelle sera la somme choisie par les organisateurs ?

dan57  Le 13-09-10 à 11:27  

salut matmat
J'essaie: Caché : puisque l'an prochain nous serons en 2011 , la somme de 4 nombres consécutifs sera sûrement 2011, et le 10 final sera remplacé aussi par 11; la somme de tous les nombres autres que 11 et 20 peut rester 4444; la solution reste inchangée.

matmat  Le 13-09-10 à 16:26  

Salut dan57,

Caché : puisque l'an prochain nous serons en 2011 , la somme de 4 nombres consécutifs sera sûrement 2011, et le 10 final sera remplacé aussi par 11
C'est vrai !

Caché : la somme de tous les nombres autres que 11 et 20 peut rester 4444; la solution reste inchangée.
Non ! (sinon, comment expliquer qu'il y aura vraisemblablement plus d'erreurs ?

Mr Hyde  Le 13-09-10 à 16:38  

Hello matmat et dan !

Ta proposition tomb à pic dan, parce que justement je me posais la question si on ne devait faire varier que le 2010, en concervant les 20, 10 et 4444 ou si on ne gardait que l'ossature générale.

En ne changeant que le 2010 en 2011 j'obtiens une solus' : Caché : 20 482 10 1499 20 482... Mais j'ai peur d'être passé à coté d'un détail !?

matmat  Le 13-09-10 à 22:03  

Coucou Mr Hyde,

Quand je dis Quelle sera la somme choisie par les organisateurs ?,
je parle du 4444 qui ne sera plus !

Pour être complètement limpide, voici le nouvel énoncé :
Caché : Dans chacune des onze cases d'une bande, on écrit un nombre.
Dans la première case, on écrit le nombre 20. Dans la onzième
case, on écrit le nombre 11.
La somme de tous les nombres qui ne sont égaux ni à 11 ni à 20
est égale à XXXX. La somme de quatre nombres placés dans des
cases consécutives doit toujours être 2011.
Quel est le nombre écrit dans la sixième case ?

Mr Hyde  Le 15-09-10 à 13:54  

Là du coup, il y a vraiment un truc qui m'échappe ! On peut mettre un peu tout ce que l'on veut à la place du 4444, non ?!

matmat  Le 16-09-10 à 20:32  

Bonsoir Mr Hyde,

Et non, on ne peut pas mettre tout ce qu'on veut à la place de 4444....

jeanne  Le 18-09-10 à 14:12  

Hello matmat !
Caché : En tout cas toutes sommes comprises entre 3960 et 5940, plus 3920 et 3938 pour 2011 ( 3920 et 3940 pour 2010) ?
Je suis comme Dan, je ne vois pas très bien ce qui change pour 2011 ?
Est-ce que tu veux parler des sommes qui admettent deux solutions au problème posé ?
Comme 5880 et 5910 pour 2010
.........Et 5880 et 5907 pour 2011

Mais j'ai peut-être rien compris ?

matmat  Le 18-09-10 à 17:33  

Coucou Jeanne,

Je suis comme Dan, je ne vois pas très bien ce qui change pour 2011 ?
Ce n'est pas l'année 2011 qui est importante, c'est la somme choisie par les organisateurs...

En effet, avec Caché : 5880 ou 5907, il y aura sans doute davantage d'erreurs !
Bravo !

jeanne  Le 19-09-10 à 10:55  

Alors super ! Merci matmat.... :)

Mr Hyde  Le 20-09-10 à 13:08  

Bien vu Jeanne ! [:bravo4:]
Mais j'ai peut-être rien compris ? Ah mais c'est pour ça alors ! [:lol3:]
Moi en revanche j'ai un peu de mal à voir comment on peut avoir deux solutions... Mon bidouillage sur xls ne me sort que 1920 et 60 pour 5880 (avec 1920 en place 6) ?! Il est d'ailleur impossible au calcul que j'ai rentré de me sortir deux solus' !
Un rapport avec le fait que 5880=98*60 et 1920=32*60 ?

jeanne  Le 20-09-10 à 17:21  

Comme quoi rien ne vaut le travaille à la main ! ;0)
Considérons donc l'année 2011 :
Caché : on a les 11 cases :
20 C2 11 C4 20 C6 11 C8 20 C10 11
(par la suite je ne noterais plus les cases impaires qui ne comptent pas, parce qu’égales à 11 ou 20 et ne changent
pas non plus) on aura :
C² +C4+ C6+ C8+ C10 = Sommes possibles
0 1980 0 1980 0 -> S = 3960
1 1979 1 1979 1 -> S= 3961
2 1978 2 1978 2 -> S = 3962 A chaque ligne (+3 -2) donc +1
..... jusqu'à :
.....
1979 1 1979 1 1979 -> S= 5939
1980 0 1980 0 1980 -> S= 5940
Les sommes prennent toutes les valeurs comprises entre 3960 et 5940

Des exceptions se produisent lorsque C², C6, C10 et C4, C8 prennent les valeurs de 11 ou 20 qui ne comptent pas
11 1969 11 1969 11 ----> S = 1969 x 2 = 3938 < 3960 -> pas d'autre solution

1969 11 1969 11 1969 -> S = 1969 x 3 = 5907, comprise entre 3960 et 5940 cette somme accepte forcément une
autre solution où C6 = 5907-3960 =1947 :
1947 33 1947 33 1947 -> S =(1947x3)+ 66 = 5907 également

De la même façon :
20 1960 20 1960 20 -> S = 1960 x 2 = 3920 (minimum)< 3960 -> pas d'autre solution tandis que :

1960 20 1960 20 1960 -> S = 1960 x 3 = 5880 comprise elle aussi entre 3960 et 5940 admet elle aussi une autre
solution où C6 = 5880-3600 =1920
1920 60 1920 60 1920 -> S =(1920 x 3) + 120 = 5880 également


Voilà ... Finalement assez simple...en espérant qu'il n'y aie pas d'étourderies de ma part... ;)

dan57  Le 22-09-10 à 23:35  

Salut tout le monde ! Je rentre de vacances et ça a bougé dans cette énigme. Bravo Jeanne ! J'en étais arrivée aux mêmes conclusions que toi Caché : avec la configuration 20 A 11 B 20 A 11 B 20 A 11 et A+B=1980 ; 3A + 2B = S. Puis les cas particuliers avec A ou B égal à 20 ou à 11 mais j'avoue que je cherchais encore autre chose à cause du "plus d'erreurs" .

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